Grundsätzlich ist es möglich mit diesem Repeater ein Netzwerk-Gerät, welches nur über LAN (aber kein WLAN) verfügt, in ein WLAN-Netz eingebunden werden - ich selber habe so einen nicht WLAN-fähigen Netzwerkdrucker so betrieben.
Ob dies auch im geschilderten Fall funktioniert kann ich allerdings nicht beurteilen und hängt u.a. auch von der Qualität der WLAN-Verbindung ab; eine Set-Top-Box benötigt eine ausreichende Bandbreite, damit das Fernsehen funktioniert.

Ja, das geht, insofern der M Budget Router WLAN hat und das Funksignal bis zum anderen Raum reicht.